Nombor Kompleks

Mengapakah set nombor kompleks dikatakan merupakan set nombor yang terbesar dalam sistem nombor? Bersama ini, marilah kita perhatikan dan fahami dengan teliti mengenai set nombor kompleks yang ditakrifkan sebagai

     C = {z= a+bi | a,b ∊ R, i² = -1}

Dalam set nombor kompleks ini telah tertulis bahawa z=a+bi, di mana C=z iaitu C=a+bi. a dan b ialah nombor nyata dan i ialah unit khayalan.

Oleh yang demikian, kita perlu tahu apa itu nombor nyata dan apa itu nombor khayalan. Seterusnya gabungan nombor nyata dan nombor khayalan membentuk nombor kompleks.

Set Nombor Nyata(R)

Set nombor nyata(R) adalah set nombor yang meliputi set-set nombor asli(N), integer(Z), nombor nisbah(Q) dan nombor bukan nisbah(Q').

Marilah kita menegnali dahulu set-set nombor yang terkandung dalam set nombor nyata yang berkaitannya dengan nombor kompleks yang dikatakan merupakan set nombor yang terbesar dalam sistem nombor.

Set nombor asli (N)

N={1,2,3...} set nombor yang mewakili semua nombor bilang yang mula dengan 1

Set nombor integer (Z)

Z={...-3,-2,-1,0,1,2...} set nombor yang merangkumi nombor bulat positif dan negatif dan sifar. Ini menunjukkan ianya juga merangkumi nombor dalam set nombor asli, maka set nombor asli ialah subset kepada set integer iaitu N⊆Z.

Set nombor nisbah (Q)

Q={p/q | p , q ∊ Z , q ≠ 0} merupakan set nombor pecahan yang dibaca sebagai p per q, p dan q adalah nombor integer dan q bukan nombor sifar. Nombor nisbah ini juga diungkapkan sebagai nisbah dua integer, jadi ianya boleh dituliskan dalam bentuk nombor pecahan ataupun nombor perpuluhan terhad atau nombor perpuluhan berulang. Contoh :1, ½, 2.3, dan sebagainya. Oleh itu, nombor-nombor yang termasuk dalam set nombor nisbah ialah integer. Integer ialah subset kepada set nombor nisbah iaitu Z⊆Q.

Set nombor bukan nisbah (Q')

Q'={x | x ialah nombor perpuluhan yang tidak berulang atau terhad}juga merupakan nombor perpuluhan tetapi nombor perpuluhannya tidak berulang ataupun terhad. Contoh : 𝜋≈3.14159,  e≈2.71828, √2≈ 1.41421 dan sebagainya.

Maka set-set nombor asli, integer, dan set nombor nisbah tidak terkandung dalam set nombor bukan nisbah.

Justeru itu, set nombor asli, integer, nombor nisbah dan nombor bukan nisbah ialah subset kepada set nombor nyata. Ini menunjukkan set nombor nyata adalah set terbesar dalam lingkungan set-set nombor tersebut kecuali set nombor kompleks dan boleh dituliskan dalam simbol seperti berikut :

                        N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R     /   Q'⊂ R

Set Nombor Khayalan (I)

Manakala set nombor khayalan (I) adalah set nombor yang paling kecil yang terkandung dalam set nombor kompleks tetapi berasingan dengan set nombor nyata. Unit khayalan ialah i iaitu i= √-1 atau i² = -1. Bagi menyatakan punca kuasa dua untuk satu nombor negatif , nombor khayalan diperlukan, contoh

 √-9 = √9√-1 = 3√-1 = 3i

Set Nombor Kompleks (C)

Secara amnya nombor kompleks ditulis dalam bentuk a+bi. Setelah memahami set nombor nyata dan set nombor khayalan, maka saya akan tujukan kewujudan nombor nyata dan nombor khayalan yang terkandung dalam nombor kompleks.

  C=a+bi,      C=  ½+(-16)

                        = ½+(√-16)

                        = ½+(√16√-1)

                        = ½ + 4√-1        di bahagian ini ½ dan 4 ialah nombor nyata dan

                        = 2√-1                √-1 adalah nombor khayalan.

                        = 2i

Jadi kombinasi nombor nyata (R) dan khayalan (I) akan membentuk nombor kompleks (C).

Maka nombor kompleks merupakan set yang terbesar sekali dalam sistem nombor.

Ini juga boleh dibuktikan dalam bentuk gambarajah di bawah.

Rajah di bawah menunjukkan hubungan antara set-set nombor dengan set nombor kompleks. Di mana set nombor kompleks merupakan set nombor yang terbesar sekali dalam sistem nombor.